D(t )
− RZ (t ) RY (t )
P (t ) = RZ (t )
D(t )
− R X (t )
.
− RY (t ) R X (t )
D(t )
(2)
Параметрите на трансформация се определят
чрез изравнение по метода на най-малките квадрати
(МНМК). Образува се функцията за условно изравнение
с неизвестни F
i на базата на формула (1), от където се
получава уравнението:
AV+BU+W=0
където
[
V= VA VB
]
наблюдаваните величини
[
U = D TX
TY
TZ
(3)
са поправките към
X A (t ) , X B (t ) ,
RX
RY
]
T
e матрицата на неизвестните,
[
W = X A − X B, Y A −Y B, Z A − Z B
2. 14 - ПАРАМЕТРИЧНА ТРАНСФОРМАЦИЯ
В практиката се прилагат и формули с 14 параметъра.
Предполага се, че от момента t до момента t t k
k
позицията на точките се е променила, дължащи се
на движението на континенталните плочи. Някои от
движенията, може да бъде компенсиран със съответните
корекции. Прието е, че координатите на идентични
точки, записани в моменти t k и t се различават, защото
имат скорости. В същото време взаимното положение на
координатните системи като реализация от координати
на точки за съответната епоха, променя позицията си
по отношение една спрямо друга. Kоординатите на
точките и трансформационите параметри се променят
а
RZ
Всички необходими формули за изравнението по
метода на най-малките квадрати в матрична форма
могат да се видят в (Mukhail, 1976 г., Даскалова
Здравчев, 2005 г.).
Тъй като поправките във всяко едно уравнение на
поправките не се повтарят в друго, уравнението може
да получи вида на параметрично изравнение.
линейно с времето. По този начин вектора
]
T
са свободните членове.
X A (t ) = X A (t k ) + X A (t k )( t − t k ) ,
Матрицата пред поправките има вида::
∂F
A = A B = [I
∂(X , X )
−I]
(4)
1 0 0 0
0 1 0 Zi
0 0 1 − Yi
− Zi
0
Xi
(5)
Yi
− X i
0
Може да се разгледат случаите за корелирани
и некорелирани наблюдения. При положение че
двете координатни системи са некорелирани, то
корелационната матрица има вида:
Q AXYZ
Q=
0
0
Q BXYZ
Въвеждането на пълна корелационна матрица води
до строго изравнение, ако съществуват корелационни
връзки между координатите на точките, взети в
съответната им координатна система.
8
където
(7)
[
]
T
X A (t k ) = X A (t k ) Y A (t k ) Z A (t k )
вектор на скоростта за епоха
е
tk .
След диференциране на уравнението:
X A (t k ) = X B (t k ) + T (t k ) + P (t ). X B (t k )
се получава
(8)
(9)
X A (t k ) = (1 + P (t k ) ).X B (t k ) + T (t k ) + P (t k ) X B (t k )
където
(6)
се
Координатите и скоростите на точките в система
А са изразени с помощта на трансформационните
параметри и координатите и скоростите на точките от
система В,
а матрицата пред неизвестните се формулира:
X i
∂F
B=
= Yi
∂U
Z i
t.
представя за епохата
X A (t )
P (t k ) = D (t k ). I + R (t k ) ,
включва
изменението на компонентите на мащаба и ротациите
параметри за дадената епоха.
След заместваме (8) и (9) в (7), и след преобразувания
може да се получи формула, която ни дава възможност
за определяне на координатите на станцията за
референтната епоха
t
:
ГКЗ 3-4’ 2011