ЗАКОНИ НА РАЗПРЕДЕЛЕНИЕ ПРИ ГЕОДЕЗИЧЕСКИТЕ МРЕЖИ Доц . д-р инж . Костадин Костадинов , инж . Десислава Митева , УАСГ
SUMMARY
In the article are reviewed the laws of distribution of the spatial position of the points coordinates from geodetic networks in terms of the probability theory on condition that the measurements are normally distributed random variables . The scope of review is only the fixed incorporated geodetic networks . The conclusions are in force and for independent networks with one , two or more fixed points , but not for so-called “ free networks ”.
РЕЗЮМЕ
Разглеждат се законите на разпределение на пространственото местоположение на координатите на точките от геодезическите мрежи от гледна точка на теорията на вероятностите при условие , че измерванията са нормално разпределени случайни величини . Предмет на разглеждане са единствено стационарните включени геодезически мрежи . Направените изводи са в сила и за самостоятелни мрежи с една , две или повече фиксирани точки , но не и за така наречените „ свободни мрежи ”.
1 . ОБЩИ ПОЛОЖЕНИЯ
Основните геодезически дейности се осъществяват в три координатни системи – едномерна ( височинна ), двумерна ( равнинна ) и тримерна ( пространствена ). Геодезическите координатни системи се материализират и разпространяват чрез множество от трайно стабилизирани точки върху физическата земна повърхност , по научно обосновани и практически целесъобразни изисквания . Първото изискване е местоположението на точките , които материализират координатните системи , се определят чрез проектиране на геодезически мрежи . Всяка новоопределяема точка по възможност се свързва с измервания ( посока , ъгъл , разстояние , превишение , вектор ) към найблизките съседи във всички направления . Второто изискване е разпространяването ( сгъстяването до необходимата плътност ) на точките , които мAните погоре фундаментални изисквания трябва да останат . Другият основен проблем е точността , надеждността и хомогенността на геодезическата основа , които следва да се основават на теорията на вероятностите , математическата статистика и теорията на грешките при геодезическите измервания .
В настоящата статия се разглеждат законите на разпределение на пространственото местоположение на точките от геодезическите мрежи от гледна точка на теорията на вероятностите при условие , че измерванията са нормално разпределени случайни величини .
Множество от точки , определени чрез геодезическа мрежа , проектирана и обработена при спазването на горните правила , напълно основателно може да се нарече йерархично множество от хомогенни точки с определен закон на разпределение . Кой е този закон и кои са важните частни условни закони на разпределение ? Предмет на разглеждане в настоящата статия са единствено стационарните включени геодезически мрежи , като за краткост думите „ стационарни ” и „ включени ” в следващото се изпускат .
2 . ТЕОРЕТИЧНИ ОСНОВАНИЯ
За теоретични основи на законите на разпределение на координатите на точките от геодезическите мрежи се приема Многомерното нормално разпределение . [ 1 ]. Многомерната случайна величина
X = ( X
1
, X
2,...,
X n
) е нормално разпределена , ако плътността й в n – мерното пространство има вида :
1 ⎧ n n
1
( −1
( ) ) ⎫ f x1
,..., xn = exp ij ( i i )( j j ) ,
n ⎨− ∑∑k x −a x −a
⎬ ( 1 )
2
2 ⎩ i= 1 j= 1
∆ ⎭
( 2π
) където : a е математическото очакване на величината i
X i
( i = 1, 2 ,..., n) , ∆ ≠ 0 е детерминантата на ковариационната матрица K на системата случайни ij величини , ( −1) k са елементи на обратната матрицата на ij
K . ij
Така дефинираният нормален закон на разпределение на система от n-случайни величини е
напълно определен , ако са известни :
• математическите очаквания : a 1 , a 2
,..., a ; n
• елементи на ковариационната матрица
• случайните величини ( X X ,..., ) независими .
1 , 2
X n
K ; ij
са функционално
Ако нормално разпределените случайни величини
( X , 1 X
2,...,
X n
) са некорелирани , то ковариационната матрица е диагонална , т . е . за елементите й е в сила
2
⎧σ ,
⎬ ⎫ i çà i = j k = ⎨
. ( 2 ) ij
⎩ 0 , çà i ≠ j ⎭
В този случай детерминантата Δ е произведението на диагоналните елементи
2 2 2
∆ = σ
1 σ
2
... σ n равна на
Следователно за нормално разпределена система от некорелирани случайни величини съвместната плътност ( 1 ) има вида :
2
1 ⎧ n ⎪ 1 ⎛ xi
− a ⎞ ⎫ i ⎪ f ( x1, x2,..., xn
) = exp n n ⎨− ∑⎜
⎟ ⎬=
2 i=
1 σ i σ ⎪⎩ ⎝ ⎠ ⎪⎭
( 2π
)
∏ i= 1
2 n n
1 ⎪⎧ 1⎛ xi − a ⎞ i ⎪⎫ = ∏ exp ⎨− ⎜ ⎟ ⎬=
∏ fi( xi) , i= 1 2πσ
2 σ i ⎪ ⎝ i ⎠ ⎪ i= 1
⎩ ⎭ i
( 3 )
( 4 )
ГКЗ 3-4 ’ 2016 ГКЗ 3-42016