En otras palabras , el equilibrio estático del efector final con una masa ms y que está sujeta a un conjunto de fuerzas Fe y momentos Me , se logra al igualarse con las fuerzas y momentos generados por las tensiones τ i de los cables . En una forma compacta , las ecuaciones ( 8 ) y ( 9 ) pueden representadas como :
donde W es el vector que agrupa las fuerzas y momentos externos aplicados al efector final ; A es la matriz estructural , la cual contiene las orientaciones de los cables , y τ es el vector de las tensiones en los cables .
Análisis del espacio de trabajo
El análisis del espacio de trabajo trata con la identificación de todas las posiciones en las cuales se puede ubicar el efector final con todos los cables bajo tensión . Por lo tanto , el análisis del espacio de trabajo requiere de la solución de la ecuación ( 10 ) para las tensiones de los cables . Lo anterior incluye encontrar la inversa de la matriz estructural A , que en el caso general es una matriz no cuadrada . El uso de la pseudoinversa A p como una solución al problema , implica la obtención de la solución con las tensiones mínimas en los cables y la adición de un vector arbitrario Nu para balancear las tensiones en los cables redundantes . La matriz N representa el espacio nulo de la matriz A y u es un vector a ser determinado , para asegurar que todos los cables estén en tensión . Esto es ,
La formulación ( 11 ) es conocida como el espacio de trabajo de cierre de fuerzas ( Stump y Kumar , 2006 ; Gouttefarde , Merlet , y Daney , 2006 ; Lim , Yang , Yeo ,
Mustafa , y Chen , 2009 ), que se basa principalmente en asumir que no existe limite en la cantidad de fuerza que se aplicar en cada cable que nulifique cualquier fuerza o momento externo que se aplique en el efector final . Así , es común el uso de algoritmos computacionales de búsqueda de cada posición alcanzable no singular por el efector final . Basado en el método de búsqueda anteriormente mencionado , se analiza el espacio de trabajo tensionable en base a los parámetros dados en la Tabla 1 .