la segunda capa, cada capa de un número
poligonal centrado k-gonal contiene k puntos
más que la capa anterior (Sloane & Plouffe,
1995). La espiral hexagonal y la espiral de
Ulam se pueden describir con la distribución
de puntos de figuras poligonales descritas
por la definición previa. Se aclara que en el
caso de la espiral de Ulam el polígono co-
rrespondiente debería ser un octágono y no
un cuadrado, por ello se ha investigado una
base, la cual se define aquí como la cantidad
de enteros que rodean al centro en la prime-
ra capa o vuelta de la espiral, y esta puede
corresponder al mismo número de lados en
la estructura general de la espiral, pero es
inmediata a la cantidad sectores triangulares
dentro de una espiral (figura 5). Solamente
se han estudiado las características en co-
mún de aquellas espirales que pueden ser
orientadas bajo números poligonales cen-
trados. En el caso de la espiral de Sack, no
hay relación con ningún número poligonal
centrado.
FIGURA 5
Repartición uniforme de los enteros o posiciones, represen-
tadas por círculos, en sectores triangulares. En el caso de
la espiral hexagonal existen 6 sectores, mientras que en la
espiral de Ulam se descubren 8 sectores.
D. Ecuaciones
Los números poligonales centrados están
ligados a los números triangulares, trabajan
por niveles en lugar de capas. Un número
triangular puede ordenarse en la forma de un
triángulo equilátero si se transforma en pun-
tos iguales a su valor (Figura 6).
El n-ésimo número k-gonal centrado puede
obtenerse por la colocación de k números
triangulares alrededor del punto central; por
lo tanto, el n-ésimo número k-gonal centrado
puede expresarse9 matemáticamente por:
C k,n = (kn/2)(n - 1) + 1
FIGURA 6
Ecuación para determinar el número triangular (Tn), este nú-
mero corresponde a la cantidad de posiciones contenidas en
un sector. Donde n es el nivel.
Nótese que se agrega k a la ecuación del nú-
mero triangular, se suma al final 1, y dentro
del paréntesis la suma pasa a ser una res-
ta, este último cambio debido a que toma en
cuenta el origen como el primer nivel para los
números poligonales. No obstante, se prefie-
re contar los niveles o capas después del ori-
gen, de modo que los niveles en la espiral
correspondan a los niveles en la fórmula de
los números triangulares. Esto per-mite em-
plear otra fórmula en la cual basta multiplicar
la base de la espiral por el nivel del número
triangular que interese, determinando así la
cantidad total de posiciones en un nivel den-
tro de la espiral sin contar su centro (Figura
7). Lo cual resulta mejor dado que se inicia
un conteo de 0 y no de 1 por lo explicado al
momento de seleccionar un punto de partida.
Además de la columna con números rojos
(Figura 7), se encuentran otras filas del cen-
tro a las esquinas de la espiral, en donde los
números están marcados con tonos azules y
naranjas. Esos números marcados, y no los
grises, pueden ser calculados con el número
triangular y operaciones adicionales que to-
man en cuenta a los sectores. Para verificar
el entero que va contenido en una ubicación
situada en las filas que van del centro a uno
de los bordes en la espiral, primero se calcu-
la el número triangular del nivel en donde se
encuentra el entero. Posteriormente se de-
termina cuántos sectores separan a ese en-
tero de la posición final. Por último, al entero
que finaliza el nivel se le resta el producto,
que resulta de multiplicar el nivel con la can-
tidad de sectores que lo separan del entero
cuyo valor se esté verificando.