Merece la pena reflexionar sobre cómo evolucionan las tangentes en cualquier punto de ambas curvas, de forma que intuitivamente se puede apreciar que mientras las tangentes a la parábola en puntos cercanos a los puntos de sujeción tienden a ser inclinadas, en la catenaria en dichos puntos las tangentes tienden más hacia una posición vertical. Ello estará relacionado, como posteriormente veremos, con las direcciones que tendremos en los vínculos externos del sistema, de las fuerzas de reacción.
Justificación Matemática de la catenaria.
Considerando esta similitud geométrica no es extraño que Galileo diera por supuesto que un cable sometido a su propio peso adquiriera la forma de una parábola. Sin embargo fue Christiaan Huygens quien demostró que ambas curvas no eran iguales y posteriormente Leibnitz, Bernoulli y el propio Huygens en 1690 hallaron su fórmula matemática:
y= a·cosh(x/a)
cosh = coseno hiperbólico
Por otra parte, poco después Euler nos facilitó la vida en el cálculo cuando nos habló de su constante universal “e” y nos hizo saber que el cosh(x) se puede construir utilizando funciones exponenciales tal que:
y así tener la fórmula de la catenaria sustituyendo en x, el valor x/a:
Halladas ambas expresiones, perfectamente se puede tabular y representar el desarrollo matemático tanto de la parábola como de la catenaria en cualquier condición de entorno y así poder sacar conclusiones de ambas.
Podríamos decir entonces que dicha catenaria en su desarrollo tiene una “apertura o vano” mayor que una parábola a igualdad de coordenada “y” y que las tangentes en los apoyos, difieren en inclinación. Además, en estado de equilibrio, en la curva catenaria cada punto de su desarrollo trabaja a tracción y todas las tensiones horizontales que se generan en dicho cable se contrarrestan entre ellas, de modo que no aparecen tensiones laterales que convierten al cable en un mecanismo que lo haga colapsar. Sin embargo en el arco parabólico esto no sucede así.
Un sencillo esquema de fuerzas nos lleva a ver cómo las fuerzas que actúan en una sección cualquiera del cable tienen tres componentes; la vertical gravitacional, las perpendiculares a su directriz que generan los esfuerzos cortantes o de cortadura y la propia fuerza de tracción que ejerce el cable debido a su naturaleza resistente (tangente a su directriz).