My first Magazine Revista_Creativ_2016_Fonturi | Page 23

ASUPRA UNEI RELAȚII DE RECURENȚĂ
Prof. Narcis Gabriel Turcu
Să
se
arate
că
x n  1  x n 2  4 x n  6,    n  N  ,
şirul
unde
 x n  n  N 
x 1   2,3 
dat
prin
relaţia
de
recurenţă
este dat, este convergent şi să i se
precizeze limita.
Începem prin câteva observaţii foarte utile. Capcana în care cade, de obicei, elevul
este aceea că trece la limită în relaţia de recurenţă şi se opreşte neţinând cont de faptul
că şirul poate fi divergent. Pentru a fi siguri de convergenţă este suficient (dar nu
necesar!) să arătăm că şirul este monoton şi mărginit. Totuşi, trecerea la limită în relaţia
de recurenţă , înainte de a arăta că este convergent, este necesară tocmai pentru a avea
un punct de sprijin în dovedirea mărginirii şi a monotoniei alături de calculul primilor
câţiva termeni pentru a vedea comportamentul lor. Semnalăm faptul că dacă, de exemplu,
avem informaţia că toţi termenii sunt mai mari decât un număr
m  R , iar limita,
presupusă a exista, este mai mică decât m , atunci e clar că şirul este divergent ( pentru
x n  1  2 x n  1,    n  N , unde x 0  2, se observă că x n  0,    n  N , deci, dacă ar fi
convergent atunci l  0, dar, trecând la limită în relaţia de recurenţă, se obţine ecuaţia
l  2 l  1 cu soluţia  1, absurd. Un alt caz evident când şirul este divergent este acela în
care se obţine o ecuaţie în necunoscuta limita presupusă a şirului care nu are nicio soluţie
2
reală (pentru x n  1  1  x n ,    n  N s-ar obţine ecuaţia l 2  l  1  0 care nu are nicio
soluţie reală pentru că    3  0 ).
Dacă şirul ar fi convergent, notând
lim x n  l , atunci, din relaţia de recurenţă,
n 
obţinem ecuaţia l  l 2  4 l  6 cu soluţiile l 1  2 şi l 2  3. Având mai mult de o soluţie cu
atât mai mult nu ne putem opri aici. Dacă şirul nu este convergent atunci niciuna nu este
limita şirului, iar dacă este convergent atunci poate fi ori o valoare ori cealaltă valoare în
funcţie de monotonia şi mărginirea şirului. În cazul considerat nu se pot calcula efectiv
2
termenii x 2 , x 3 ,... , dar îi putem compara. Avem x 2  x 1  x 1  5 x 1  6   x 1  2  x 1  3   0,
adică x 2  x 1 . Mai mult, din x 2  x 1 2  4 x 1  6   x 1  2   2  0  x 2  2, deci şi
2
x 2   2,3  . În mod analog se obţine şi x 3   2,3  şi în general
2  ...  x n  ...  x 3  x 2  x 1  3. De aici, prin inducţie matematică, putem demonstra
22