Introduccion al calculo 1 05/05/13 | Page 51

CAP´ ITULO 3. L´ IMITES Y CONTINUIDAD 47 3.1.3. Propiedades de los l´ ımites Teorema (unicidad del l´ ımite). Si existe el l´mite de una funci´n en un ı o punto, dicho l´mite es unico. ı ´ Demostraci´n. Hay que probar que si o l1 = l´ f (x), ım x→a l2 = l´ f (x) ım x→a entonces l1 = l2 . Supongamos, en efecto, que l1 = l2 . Tomando, entonces, = |l1 − l2 | /2 > 0 en la definici´n de l´ o ımite se deduce que existen dos n´meros positivos δ1 y δ2 tales que u x ∈ dom f y 0 < |x − a| < δi =⇒ |f (x) − li | < , i = 1, 2. Si δ = m´ 1 , δ2 ) > 0 y x ∈ dom f es un n´mero cualquiera que cumple ın(δ u 0 < |x − a| < δ entonces |l1 − l2 | ≤ |f (x) − l1 | + |f (x) − l2 | < 2 = |l1 − l2 | , lo cual es absurdo. Q.E.D. Nota. Id´ntico resultado es v´lido para l´ e a ımites laterales ´ infinitos, con una o demostraci´n an´loga. o a Probemos, en primer lugar, que si f tiene l´ ımite (finito) en a ∈ R entonces f est´ acotada en las proximidades del punto a: a Proposici´n 3.10. Si l´ x→a f (x) existe, entonces f est´ acotada en o ım a alg´n intervalo de la forma (a − δ, a + δ) con δ > 0. u Demostraci´n. Hay que probar que existen δ > 0 y M > 0 tales que o |f (x)| < M, ∀x ∈ dom f ∩ (a − δ, a + δ). Por la existencia de l = l´ x→a f (x), existe δ > 0 tal que ım |f (x) − l| < 1, ∀x = a tal que x ∈ dom f ∩ (a − δ, a + δ). Si x = a y x ∈ dom f ∩ (a − δ, a + δ), entonces |f (x)| ≤ |f (x) − l| + |l| < 1 + |l| . Se obtiene por tanto la acotaci´n deseada tomando (por ejemplo) M = 1+|l| o si a ∈ dom f , ´ M = m´x (1 + |l| , 1 + |f (a)|) > 0 si a ∈ dom f . / o a Q.E.D. Otro resultado importante acerca del l´ ımite se refiere al comportamiento del signo de una funci´n que tiende a un l´ o ımite distinto de cero en un punto. M´s precisamente, se verifica el siguiente resultado: a