Более точно , абстракция — это способ описания или выделения в смысле абстрагирования не воспринимаемых чувственно ( т . е . в некоторой мере " абстрактных ») свойств , предметов с помощью задания на предметной области некоторого отношения типа равенства ( тождества , эквивалентности ), обладающего свойствами метричности , рефлексивности и транзитивности .
• Отношение симметрично , если оно имеет место как между предметами Х и У , так и междупредметами У и X . Иначе говоря , перестановка членов отношения не ведет к изменению вида отношения . Симметричны отношения равенства , сходства , одновременности и некоторые другие ;
• отношение рефлексивно , если каждый член отношения находится в таком же отношении к самомусебе . Таковы , например , отношения равенства и одновременности ;
• отношение транзитивно , если оно имеет место между Х Y тогда , когда оно имеет место между Х Yмежду Y и Z . Иначе говоря , отношение является транзитивным ( переходным ) тогда и только тогда , когда из отношения между X и Y и между Y и Z . следует такое же отношение между Х и Z .
Транзитивны отношения равенства , одновременности , отношения « больше », « меньше », " позднее », « быть ниже , выше » и т . п .
Отношение , обладающее свойствами симметричности , рефлексивности и транзитивности , разбивает предметную область на непересекающиеся множества ( в нашем случае это классы абстракции , или классы эквивалентности ), причем элементы , принадлежащие одному и тому же классу , неотличимы по определяемому таким образом свойству . Например , через отношение обмениваемости товаров в политической экономии определяется стоимость , через отношение теоретико-множественной эквивалентности в теории множеств определяется мощность множеств и т . п .
Определение через абстракцию всегда , возможно неявно , опирается на принцип абстракции , или принцип свертывания . Согласно принципу свертывания каждому свойству соотносится класс ( множество ) объектов , обладающих этим свойством . Отметим , что указанный принцип удобен в практических приложениях , где он является наиболее естественным и плодотворным . Однако постулирование принципа абстракции как универсального методологического закона приводит к трудностям , которые проявляются в первую очередь в виде парадоксов ( логики или , например , теории множеств ).